Análisis vectorial

Mediante el análisis vectorial nos enfocaremos en estudiar, comprender y analizar a los vectores desde el punto de vista de la física, conoceremos qué son, cuáles son sus partes, así como los tipos de vectores que existen y por si fuera poco, pasaremos a desarrollar las operaciones que se usan en el análisis vectorial.

Definición de vector en física

Un vector en física, se define como un ente matemático, que se puede representar gráficamente mediante un segmento de recta orientado, es decir mediante una flecha que indica el sentido del vector, parte de un punto y termina en otro.  Un vector es un elemento matemático, así como lo son: el punto, la recta, y el plano.

Representación de un vector

El vector es un elemento que representa una magnitud física de tipo vectorial, a partir de ella se pueden obtener varios datos sobre el comportamiento de un fenómeno físico como: la velocidad, aceleración, fuerza, etc.

Antes de empezar estableceremos las diferencias entre las magnitudes fundamentales y derivadas.

Magnitudes vectoriales

Las magnitudes físicas vectoriales son las que poseen dirección y sentido; es decir para que queden expresadas completamente, se necesita establecer su módulo, dirección y sentido. Por ejemplo, la velocidad es una magnitud vectorial, porque cuando expresamos la velocidad de un móvil, es necesario indicar la dirección y sentido de dicho movimiento para que la información sea completamente entendible.

Magnitudes vectoriales

Lo mismo ocurre con magnitudes como la fuerza, desplazamiento, la aceleración, cantidad de movimiento, etc. son magnitudes que requieren de una dirección y sentido para estar completamente definido.

Representación de un vector

Un vector se representa gráficamente mediante una flecha, sin embargo para expresar en enunciados o problemas a resolver se suele emplear una letra mayúscula o minúscula con una flecha sobre ella, así como aparece en la figura anterior. Un vector también puede estar expresada en sus componentes rectangulares, la misma que conoceremos más adelante.

Elementos de un vector

El vector posee elementos que ayudan representarlo y entender de la mejor manera posible, veamos cuales son y en qué consisten.

El vector y sus partes en física

Punto de aplicación

Un vector tiene un punto de aplicación, llamado también como punto de origen, este se encuentra dentro del sistema de coordenadas o también llamado espacio euclidiano, se ubica en un punto con sus respectivas coordenadas.

Módulo

Conocido también como magnitud (tamaño), el módulo es el valor del vector y de acuerdo al tipo de magnitud que representa, esta tendrá sus unidades de medida, por ejemplo cuando se trata de un vector posición su unidad puede estar expresado en metros, o si se trata de un vector velocidad, su unidad puede ser en m/s.

El módulo de un vector se representa con barras dobles y su valor es un número con unidades, ejemplo:

Cuando un vector se presenta con sus respectivas componentes, ya sea en el plano bidimensional o tridimensional, su módulo será la raiz cuadrada de la suma total del cuadrado de sus componentes. Por ejemplo:

Sentido

El sentido de un vector esta dada por la orientación que posee dentro de su línea de acción, se representa mediante una flecha que indica el sentido, un vector puede tomar solo uno de dos sentidos en una misma línea de acción.

Línea de acción

Es la línea imaginaria donde se encuentra completamente el vector, sobre dicha línea, el vector se puede mover sin cambiar su dirección y sentido. Desplazar vectores sobre su línea de acción, es bastante útil cuando se analizan magnitudes como la fuerza resultante sobre un cuerpo.

Dirección

La dirección de un vector está dado por el grado de inclinación de la línea de acción del vector respecto a un eje coordenado, generalmente el eje X positivo. La dirección se expresa mediante el ángulo que forma la línea de acción con el eje positivo horizontal X.

Tipos de los vectores

Los vectores se clasifican en varios tipos, de acuerdo a la forma en la que se presentan, conocerlas es importante, ya que en la resolución de ejercicios de vectores, no encontraremos con estos e identificarlas aportara en su solución. Veamos cuales son:

Vectores colineales

Dos o más vectores son colineales cuando tienen la misma línea de acción, sin importar el sentido que tomen, siempre y cuando se encuentren en la misma línea de acción.

Vectores colineales

Vectores coplanares

Los vectores coplanares son aquellos que se encuentran sobre un mismo plano, sin importar sus direcciones ni sentidos.

Vectores coplanares

Vectores concurrentes

Se dice que dos o más vectores son concurrentes cuando sus líneas de acción se intersectan o concurren en un mismo punto. Para ver si los vectores son concurrente puedes proyectar sus líneas de acción.

Vectores concurrentes

Vectores iguales

Cunado dos o más vectores poseen el mimo modulo, la misma dirección y sentido, entonces se dice que son vectores iguales.

vectores iguales

Vectores opuestos

Dos vectores son opuestos, cuando poseen la misma dirección pero sentidos opuestos. Por ejemplo el vector opuesto de (3i+2j) será (-3i-2j).

Vector unitario

El vector unitario es aquel que tiene como módulo a la unidad, el objetivo de un vector unitario es indicar la dirección y sentido de un vector determinado.

Vector unitario

Si se tiene como dato al vector unitario de un vector cuyo modulo es conocido, entonces podemos calcular el vector multiplicando su módulo por su vector unitario.

Vectores en el plano cartesiano R2 y en el espacio R3

Los vectores se pueden analizar en el plano cartesiano, ya sea en un plano de dos ejes X y Y, como vectores en el plano R2 o en el espacio tridimensional con ejes X, Y y Z, como vectores en el espacio R3, el comportamiento es similar, solo que en tres dimensiones los vectores se consideran con tres componentes. Veamos mejor a continuación para evitar dudas.

Vectores en el plano R2

Un vector puede estar ubicado en cualquier posición dentro del plano cartesiano R2, puede tomar cualquier punto como origen, así como su punto final, además los vectores siempre poseen una dirección y sentido, y en este caso tendrán dos componentes (X;Y), la misma que desarrollaremos más adelante.

Cundo disponemos del punto final y el punto de origen del vector, podemos calcular rápidamente el vector formado; simplemente debemos restar el punto final menos el punto de origen.

Componentes rectangulares de un vector

En el plano cartesiano bidimensional podemos representar las componentes rectangulares que posee un vector:

El módulo de un vector es igual a la raíz cuadrada de la suma total de los cuadrados de sus componentes.

Vectores unitarios rectangulares

Los vectores unitarios rectangulares son prácticamente los vectores unitarios de los ejes cartesianos.

  • Todos los vectores horizontales, es decir paralelos al eje X poseen un vector unitario a (1;0) si tienen sentido positivo y (-1;0) si tienen sentido negativo; el vector unitarios con dirección X se representa con la letra “i” con su respectivo signo.
  • Los vectores paralelos al eje Y con sentido positivo tienen como vector unitario a (0;1) y los que tienen sentido negativo tienen como vector unitario a (0;-1); el vector unitario con dirección Y se representa mediante la letra “j” con su respectivo signo.

Vectores en el espacio R3

Los vectores también pueden analizarse en el espacio tridimensional, sucede de manera similar que en el plano cartesiano, pero en R3, los vectores poseen tres componentes: X, Y y Z, vemos cómo se ve un vector cuyo origen o punto de aplicación coincide con el origen de coordenadas.

Vectores en 3 dimensiones
Componentes de un vector en R3

Un vector en R3 está limitado por su punto de origen o aplicación y su punto final; para encontrar las componentes de cualquier vector en el espacio, simplemente restamos el punto final menos el punto de origen, como resultado obtenemos el vector en cuestión, veamos la imagen:

Modulo de un vector en el espacio tridimensional

El módulo de un vector posicionado en cualquier parte del espacio tridimensional se calcula de manera similar que en el plano cartesiano; en este caso será igual a la raíz cuadrada de la suma total de los cuadrados de sus componentes.

Modulo de un vector en el espacio

Cosenos directores de un vector en R3

Un vector en R3 formará un ángulo con los ejes coordenados, en este caso se formarán tres ángulos en total con el eje X, Y y Z. dichos ángulos serán: α, β y Ɵ respectivamente, estos definen la direccion del vector en 3D, observa la imagen para entender mejor.

Además se cumple que la suma de los cuadrados del valor de los cosenos es igual a la unidad.

Vectores unitarios en R3

El vector unitario de un vector cualquiera es el vector dividido entre su módulo, en este caso coincide con los cosenos directores del vector:

Los vectores unitarios de los ejes coordenados son similares como en el plano cartesiano, pero en R3 tendrán tres componentes de las cuales uno de ellos toma el valor de la unidad y los demás cero, dependiendo de la dirección y sentido que toma:

Vectores unitarios de los ejes coordenados 3D

Producto de un vector por un escalar

Multiplicar un vector por un escalar, es decir por un número; hace que el modulo del vector se multiplique el número de veces que indica el escalar, por lo tanto, el resultado es un vector cuya dirección es la misma pero su módulo cambia.

Producto de un vector por un escalar

Por ejemplo, si multiplicamos por 3 al vector (2i+3j) el resultado será: (6i+9j).

Operaciones con vectores

En análisis vectorial también se estudian las operaciones que se pueden realizar con vectores, desde la suma y diferencia de vectores, pasando por el producto punto y producto cruz, cada una de estas operaciones será mejor desarrollarlas en su respectivo apartado y tienes los contenidos más adelante. Veamos:

Ahora aprenderemos las operaciones de suma y diferencia de vectores, aunque hablando de operaciones deberíamos denominarlas como adición y sustracción, dos operaciones bastante básicas que se pueden realizar con vectores,…

Ahora desarrollaremos todo sobre el producto punto de vectores o también conocida como producto interno, básicamente se trata de una operación entre vectores cuyo resultado es un número, es decir…

Ahora aprenderemos todo sobre el producto cruz de dos vectores o también conocido como producto vectorial, se trata de una operación vectorial y hoy aprenderemos en qué consiste, su interpretación…

Aplicaciones de vectores en física

El análisis vectorial es ampliamente utilizado en la física para representar, analizar, estudiar y comprender las  magnitudes vectoriales. Pero veamos donde se utilizan concretamente.

  • En el estudio de la cinemática.- la cinemática está llena de magnitudes vectoriales, en ella se estudian desde vectores de posición, desplazamiento, velocidad, aceleración y mucho más cundo se analiza un cuerpo en movimiento.
  • En estática.- las fuerzas que intervienen para que un cuerpo se encuentre en equilibrio son representadas por vectores, pues tienen una dirección y sentido. El estudio de los cuerpos en equilibrio necesariamente aplica el análisis vectorial para su mejor comprensión.
  • En dinámica.- al estudiar la causa de movimiento de los cuerpos también se recurre al añiláis vectorial.

Los vectores están presentes en el estudio de los fenómenos mencionados y muchos otros más, pues ayudan a estudiarlas y desarrollarlas de la mejor manera posible.