Producto cruz de vectores

Ahora aprenderemos todo sobre el producto cruz de dos vectores o también conocido como producto vectorial, se trata de una operación vectorial y hoy aprenderemos en qué consiste, su interpretación geométrica, su significado, además de las propiedades que se cumplen en torno al producto cruz.

Producto vectorial de dos vectores

El producto vectorial entre dos vectores A y B, es una operación cuyo resultado es otro vector C perpendicular a los vectores A y B o al plano que contiene a dichos vectores, por lo tanto esta operación se puede representar en el espacio tridimensional, como veremos más adelante.

Como hacer un producto cruz

Para hallar el producto cruz entre los vectores A=(A1, A2, A3) y B=(B1, B2, B3), se recurre a una matriz de dos filas y tres columnas, en la primera fila van las componentes del primer vector, y en la segunda fila las componentes del segundo vector, una vez ubicada dichos componentes se procede a realizar la operación; es tan sencillo como multiplicar y sumar o restar de acuerdo a la fórmula que presentamos, debemos tomar en cuenta siempre los signos de las componentes independientemente de la fórmula

El vector producto cruz AxB será igual a: (A2.B3 - A3.B2, – (A1.B3 - A3.B1), A1.B2 - A2.B1), Como puedes notar se trata de multiplicar componentes y restar otras. Para que entiendas de mejor manera observa la imagen, en ella tenemos dos vectores, se colocan sus componentes en la matriz y se realiza la operación:

Nota que para hallar una componente del resultado final o del producto cruz, se omite una fila, dicha fila coincide con la componente que se desea hallar, y los restantes se multiplican en aspa y los resultados de dicha multiplicación se restan, el resultado de multiplicar hacia abajo menos el resultado de multiplicar hacia arriba.

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Por ejemplo:

  • Para hallar la componente en X del producto vectorial, se omite las componentes A1 y B1 de los vectores a multiplicar, y luego se toman A2.B3 – B2.A3.
  • Lo mismo sucede cuando se halla la componente en Y, se omite A2 y B2 y se toman A1.B3 – A3.B1, con la particularidad de que el resultado es negativo.
  • Cuando se halla la componente Z se omiten A3 y B3, luego se toman A1.B2 – A2.B1

Bien, ahora veamos un ejemplo para que termines de entender esta maravillosa operación. El ejemplo consiste en calcular el producto vectorial entre e vector A=(2, -5, 3) y B=(-4, 1, -6), a continuación veamos la solución.

En resumen, hemos calculado las componentes de la siguiente manera:

  • Componente en X=(-5*-6) – (3*1) = 30 – 3 = 27
  • Componente en Y=(2*-6) – (3*-4) = -12 + 12 = 0
  • Componente en Z=(2*1) – (-5*-4) = 2 -20 = -18

Fórmula del producto cruz o vectorial

La fórmula para hallar el módulo del vector producto cruz entre dos vectores es muy sencilla, solo se debe multiplicar el módulo de los vectores a multiplicar por el seno del ángulo que forman entre ello. Veamos de manera gráfica:

Interpretación geométrica del producto vectorial

Cunado hallamos el producto cruz entre dos vetores, estamos hallando el vecror perpendicular a ambos vectores, ademas su módulo es igual al area que encierra el paralegramo formado por los vectores a multiplicar.

Por otro lado, podemos notar claramente que la magnitud o módulo del vector producto cruz, depende también del ángulo que forman los vectores a multiplicar, cuanto más cerrado es el ángulo menor será el área encerrada y por ende menor el módulo del vector producto cruz.

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La regla de la mano derecha

En la operación de producto vectorial, se cumple la regla de la mano derecha, básicamente nos sirve para visualizar la dirección de vector resultado. Consiste en colocar la mano en posición de los vectores a multiplicar, de tal manera que el pulgar de la mano siempre indica la dirección del vector resultado, la palma de la mano debe estar abierta, de tal manera que la dirección del primer vector que aparece en la operación es representada por los cuatro dedos que pueden girar hacia la palma, es decir hacia el segundo vector.

Observa la imagen, el vector resultado AxB apunta hacia arriba, ya que los dedos giran de A hacia B y el pulgar apunta hacia arriba; sería el caso contrario si tuviéramos que hallar el vector BxA, el pulgar tendría que apuntar hacia abajo para que los dedos puedan girar de B hacia A.

En resumen, los dedos deben girar desde el primer vector hacia el segundo vector, por lo tanto no es lo mismo que gire de A hacia B a que gire de B hacia A, pues producen vectores con sentidos opuestos, aunque el módulo será el mismo, sin embargo vectorialmente no son lo mismo.

AxB ≠ BxA

Si tomamos en cuenta un plano cualquiera, ya sea una hoja de papel, una pizarra o cualquier otro, asumiendo que los vectores a multiplicar se encuentran en dicho plano, notarás que el vector resultado de hacer el producto cruz, puede salir perpendicularmente de dicho plano o puede entrar, solo existen dos posibilidades y en palabras sencillas, dependerá del orden de los (factores) vectores.

Propiedades del producto vectorial o cruz

Dado los vectores A y B que pertenecen al espacio tridimensional, y un escalar p que pertenece a los números reales, entonces se cumplen las siguientes propiedades del producto vectorial:

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Producto cruz de vectores unitarios canónicos

El producto vectorial de vectores canónicos, es decir de los vectores unitarios en dirección de cada eje coordenado, es un claro ejemplo de las propiedades que mencionamos anteriormente.

El primer caso consiste en el producto cruz en sentido antihorario, basta con aplicar la regla de la mano derecha para ver la dirección del vector resultado, notarás que el pulgar sale del plano, por ende en dirección positiva y por tratarse de vectores cuyas componentes son 1 y ceros, el resultado será otro vector canónico.

El segundo cado se trata de un caso inverso, si aplicamos la regla de la mano derecha otras que el pulgar apunta hacia dentro, por ende es dirección el vector resultado tendrá sentido negativo, pues los dedos giran en sentido horario a simple vista.

Cuando se trata de vectores iguales, el producto vectorial entre ellos será igual al vector nulo o cero, pues no existe ningún área encerrada entre ellos, o por si quieres entender de otra forma, el seno del ángulo cero será cero, lo cual hará que el resultado sea un vector con módulo cero.

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