Producto interno o punto de vectores

Ahora desarrollaremos todo sobre el producto punto de vectores o también conocida como producto interno, básicamente se trata de una operación entre vectores cuyo resultado es un número, es decir un escalar; aprenderemos como se realiza un producto punto, su interpretación geométrica, las propiedades que se cumplen y sus aplicaciones. ¡Vamos por ello!

Producto punto de vectores

El producto punto de vectores también es conocida como producto interno o producto escalar de vectores; es un a operación que consiste en multiplicar dos vectores, dando como resultado un escalar, esta es una de las razones por las que también es llamado como producto escalar. Para representar esta operación se hace uso del punto, de ahí que su nombre es producto punto.

Posiblemente la curiosidad te lleve a preguntar ¿Por qué esta operación o cual es su aplicación? pues existen algunos fenómenos físicos tales como el trabajo mecánico o el flujo magnético que presentan un comportamiento descrito por el producto punto.

Fórmula del producto interno

Dado dos vectores A=(Ax, Ay, Az) y B=(Bx, By, Bz), el producto punto entre ellos es igual a la suma total de los productos entre sus componentes. Es decir A.B=(Ax.Bx + Ay.By + Az.Bz), mejor veamos la imagen, donde se aprecia mejor la forma del producto interno.

Por ejemplo si tenemos los vectores A=(3, -5, 9) y B=(-4, 2, 7), el producto interno será:

  • ⇒ A.B = (3.(-4) + (-5).2 +9.7)
  • ⇒ A.B = (-12 -10+ 63)
  • ⇒ A.B = (41)

Otra forma de hallar el producto punto de dos vectores es multiplicando el módulo de dichos vectores por el coseno del ángulo que forman:

Interpretación geométrica

Cuando realizamos la operación de producto punto entre dos vectores, lo que estamos haciendo es multiplicar el módulo de uno de ellos por el módulo del otro en la dirección de la primera.

En la imagen podemos observar claramente que el producto punto es igual a módulo del vector B multiplicado por el módulo de la componente del vector A en dirección del vector B.

Propiedades del producto punto

Las propiedades del producto interno nos ayudarán a simplificar ciertas operaciones entre vectores, se trata de propiedades que se cumplen siempre, por ende será de bastante ayuda al momento de resolver problemas; pero es que además, detrás de cada propiedad existe una explicación, un significado físico, sin embargo para nuestro objetivo es suficiente con mencionarlas.

Producto escalar de vectores unitarios canónicos

Ya que el módulo de los vectores canónicos es la unidad, además dicho vector posee la unidad como uno de sus componentes, siendo los demás componentes igual a cero, se cumple que:

El producto punto de dos vectores canónicos iguales es la unidad elevada al cuadrado, lo que resulta la misma unidad.

Si nos fijamos las propiedades, el producto punto de vectores que forman un ángulo recto de 90 grados, siempre es cero, lo mismo ocurre con los vectores canónicos diferentes, pues siempre forman un ángulo recto.

Producto punto de suma y diferencia de vectores

Si haceos cumplir las propiedades mencionadas para el producto punto, podemos notar que se cumple lo que en la lección anterior conocimos como el método del paralelogramo, la misma que nos servía para sumar dos vectores, además el resultado de desarrollar la operación, resulta en la famosa ley de cosenos, veamos:

Lo mismo ocurre cuando hacemos cumplir las propiedades para la diferencia de vectores, notaremos que se cumple la ley de cosenos, en este caso para hallar dicha diferencia, es similar al caso anterior, pero en este el signo cambia por ser una diferencia. Veamos la imagen:

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