Suma y diferencia de vectores

Ahora aprenderemos las operaciones de suma y diferencia de vectores, aunque hablando de operaciones deberíamos denominarlas como adición y sustracción, dos operaciones bastante básicas que se pueden realizar con vectores, ya sea empleando métodos gráficos o métodos analíticos.

Suma de vectores

Dos o más vectores pueden ser sumados para obtener otro vector que produzca el mismo efecto final que los vectores a sumar juntos. Cuando los vectores están expresados en sus componentes, sumarlos es tan simple como sumar dichos componentes respetando la regla de signos. El resultado de sumar vectores es conocido como vector resultante.

En el gráfico a continuación se muestra dos vectores A y B en el plano cartesiano, el vector R es el vector resultante después de sumar A Y B.

Suma de vectores en el plano cartesiano

Podemos notar gráficamente como se suman los vectores, de manera similar ocurre cuando se trata de sumar varios vectores. En el espacio tridimensional sucede de igual manera, con la única diferencia de que los vectores tienen tres componentes. Veamos.

Ejemplo: hallar el vector resultante de los vectores A, B y C.

  • A= (2,-4,3)
  • B= (-1,0,-5)
  • C= (7,4,2)

 El vector resultante será: R= (2-1+7, -4+0+4, 3-5+2) ⇒ R= (8,0,0)

Existen varias formas o métodos para sumar vectores, podemos hacer analíticamente o si disponemos de los gráficos podemos emplear los métodos gráficos, veamos.

Suma de vectores paralelos

Dos o más vectores son paralelos cuando sus líneas de acción poseen la misma dirección, aunque sus posiciones en el espacio pueden ser diferentes. Podemos decir que los vectores colineales son paralelos, pero no necesariamente los vectores paralelos son colineales.

Si tenemos dos vectores A y B paralelos, entonces:

  • La suma o resultante de dichos vectores será máxima cuando el ángulo formado por ellos sea de 0 grados, o podemos decir cuando poseen el mismo sentido.
  • La resultante será mínima cuando el ángulo formado entre ellos sea de 180 grados, o si quieres entender de otra manera, cuando tengan sentidos opuestos.
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Resultante máximo y mínimo

Método del paralelogramo

El método del paralelogramo sirve para hallar el módulo de la resultante de dos vectores que poseen un mismo origen, por ende son vectores concurrentes y coplanares. Para entender mejor, representemos dos vectores A y B, el vector resultante o suma de dichos vectores será el vector R.

El nombre de este método se debe a la forma que resulta de gráfica los vectores y sus respectivas paralelas, pues forman la figura geométrica de un paralelogramo.

Para dibujar correctamente el método del paralelogramo debemos seguir los siguientes pasos:

  1. Hacer coincidir el punto de origen de los vectores A y B,
  2. Trazar una línea paralela al vector A, que pase por el punto final del vector B.
  3. Trazar otra línea paralela al vector B y que pase por el punto final del vector A.
  4. Dibujar el vector resultante, su punto de origen coincide con el origen de los vectores A y B y su punto final coincide con la intersección de las líneas trazadas en los pasos 2 y 3.
  5. Para medir el módulo del vector resultante R se puede emplear una cinta métrica o regla.
  6. Para medir su la dirección de R se puede emplear un transportador.

La gracia de emplear métodos gráficos, es que es posible calcular la magnitud de un vector haciendo uso de escalas y herramientas, como una regla métrica y transportador, aunque también es posible hacerlo analíticamente haciendo uso de la fórmula.

Método del triángulo

El método del triángulo se usa para hallar la resultante de dos vectores cualquiera, el procedimiento es parecido al método del paralelogramo, pero en este caso se desplaza uno de los vectores a continuación del otro sin cambiar su magnitud ni dirección; después de ello se traza el vector resultante, la misma que va desde el origen del primer vector hasta el final del segundo vector.

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Para entender mejor, nos ayudaremos de un gráfico; tenemos dos vectores A y B, no piden hallar la resultante empleando el método del triángulo, veamos.

Pasos para sumar vectores con el método del triángulo

  • Desplazamos uno de los vectores a continuación de la otra, sin alterar su dirección ni magnitud.
  • Trazamos el vector resultante que va desde el origen del primer vector, hasta el final del vector que le sigue.
  • Medimos el módulo y dirección de la resultante haciendo uso de regla métrica y transportador respectivamente, o en su defecto podemos calcular analíticamente.

Debe quedar claro que cuando se desplaza un vector a continuación de otro, nos referimos a que el origen del vector segundo vector debe coincidir con el final del primer vector.

Por otro lado, también podemos aplicar la ley de senos que se cumple en los triángulos para calcular el módulo de cualquiera de sus lados, en este caso de los vectores que lo componen.

Método del polígono

El método del polígono es un método similar al método del triángulo, pero en este caso nos sirve para sumar más de dos vectores, se trata de desplazar los vectores a sumar uno a continuación de otro sin cambiar su dirección ni modulo, al final se traza el vector resultante que va desde el origen del primer vector hasta el punto final del último vector; el resultado será un polígono.

En la imagen tenemos 4 vectores todas con una magnitud y dirección determinada, debemos hallar el vector resultante, es decir la suma de los 4 vectores, lo haremos mediante el método del polígono, veamos.

Pasos para aplicar el método del paralelogramo

  • Empezaremos desplazando vectores uno a continuación de otro, no importa el orden, es posible elegir a cualquiera para que sea el punto de partida.
  • Es importante no modificar las direcciones ni magnitudes, simplemente hay que desplazarlas tal como están.
  • Verificamos que todos los vectores del sistema están unidos.
  • Finalmente trazamos el vector resultante, que va del origen del primer vector al final del último vector colocado.
  • Medimos el módulo y dirección del vector resultante, empleando una regla métrica y transportador respectivamente.
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Método del polígono
Método del polígono para sumar vectores.

Cualquiera puede ser el primer vector y cualquiera puede seguir a continuación, al final siempre se consigue el mismo vector resultante, puede probar si deseas.

Cuando después de desplazar y unir los vectores, el punto de origen o partida del primer vector coincide con el punto final del último vector, entonces no se puede trazar un vector resultante, en ese caso la resultante será cero 0. Ya que los vectores formaron un polígono cerrado.

Diferencia de vectores

La diferencia entre vectores es básicamente similar a la suma de vectores, solo que en este caso los vectores se restan, el vector que sustrae tiene signo negativo que es repartido a cada componente de dicho vector, luego las operaciones se realizan como respetando los signos.

Por ejemplo, si tenemos el vector A y B, el vector diferencia será D= A-B, veamos:

  • A=(3,5,1)
  • B=(-1,7,-12)

D=A-B ⇒ D=(3,5,1) – (-1,7,-12) ⇒ D=(3-(-7), 5-7, 1-(-12)) ⇒ D=(10,-2,13)

Gráficamente podemos observar a continuación, además cuando el ángulo formado es agudo se cumple la ley de cosenos y es posible aplicar la fórmula que aparece.

Diferencia de vectores
Representación gráfica de diferencia de vectores.

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